2次正方行列の固有値と固有ベクトル

行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値と、それぞれに対応する固有ベクトルを1つずつ求めよ。

固有値 $5$ に対して固有ベクトル $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$、固有値 $2$ に対して固有ベクトル $\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$

固有値は特性方程式 $\det(A-\lambda I)=0$ の解として求められる。$\det(A-\lambda I) = (4-\lambda)(3-\lambda)-2\times1 = \lambda^2-7\lambda+10=0$ であり、これを解くと $\lambda=5, 2$ を得る。$\lambda=5$ のとき、$(A-5I)\bm{v}=0$ より $\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 1 & -2\end{pmatrix}\bm{v}=0$ となり、$v_1=2v_2$ が成り立つので、固有ベクトルとして $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ がとれる。$\lambda=2$ のとき、$(A-2I)\bm{v}=0$ より $\begin{pmatrix}2 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}\bm{v}=0$ となり、$v_1=-v_2$ が成り立つので、固有ベクトルとして $\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ がとれる。