n^2-1が素数となる自然数n

$n$を自然数とする。$n^2-1$ が素数となるような$n$の値をすべて求めよ。

$n=2$

$n^2-1$ は $(n-1)(n+1)$ と因数分解できる。$n\ge2$ のとき $n-1\ge1$、$n+1\ge3$ であり、この積が素数になるためには、小さい方の因数$n-1$が$1$でなければならない（$n-1\ge2$だと$n-1$と$n+1$がともに$2$以上の約数となり、積は素数にならない）。$n-1=1$ とすると $n=2$ であり、このとき $n^2-1=(2-1)(2+1)=1\times3=3$ となり、確かに素数である。$n=1$のときは $n^2-1=0$ で素数ではない。$n\ge3$のときは $n-1\ge2$ かつ $n+1\ge4$ となり、積は2つの2以上の整数の積となるので素数ではない。よって条件を満たすのは $n=2$ のみである。