関数 xe^(-x^2) の最大値

$x\ge0$ の範囲で、関数 $g(x)=xe^{-x^2}$ の最大値を求めよ。

$x=\dfrac{1}{\sqrt2}$ のとき最大値 $\dfrac{1}{\sqrt{2e}}$

$g'(x)=e^{-x^2}+x\cdot(-2x)e^{-x^2}=e^{-x^2}(1-2x^2)$。$x\ge0$ で $g'(x)=0$ となるのは $x=\dfrac{1}{\sqrt2}$ のときで、これより前は正、後は負なので極大かつ最大。$g\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)=\dfrac{1}{\sqrt2}e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt e}=\dfrac{1}{\sqrt{2e}}$。