広義積分の計算（指数関数と三角関数の積）

広義積分 $\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-x}\sin x\,dx$ の値を求めよ。

$\dfrac{1}{2}$

部分積分を2回用いる方法で計算する。$I = \displaystyle\int e^{-x}\sin x\,dx$ とおくと、部分積分により $I = -e^{-x}\sin x + \displaystyle\int e^{-x}\cos x\,dx$ となり、さらに部分積分を行うと $\displaystyle\int e^{-x}\cos x\,dx = -e^{-x}\cos x - \displaystyle\int e^{-x}\sin x\,dx = -e^{-x}\cos x - I$ となる。これを代入すると $I = -e^{-x}\sin x - e^{-x}\cos x - I$ より $2I = -e^{-x}(\sin x+\cos x)$、すなわち $I = -\dfrac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) + C$ を得る。したがって $\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-x}\sin x\,dx = \left[-\dfrac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)\right]_0^{\infty} = 0 - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}$ である。