留数定理による実積分の計算

留数定理を用いて，実積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{x^2+1}\,dx$ の値を求めよ。

$\pi$

上半平面の半円積分路を考えると、内部の特異点は$z=i$のみで、$\mathrm{Res}(f,i)=\dfrac{1}{2i}$である。留数定理より周回積分は$2\pi i\times\dfrac{1}{2i}=\pi$。半円弧上の積分は半径を無限大にすると0に収束するので、実積分の値は$\pi$である。