三角関数の合成と最大値

関数 $f(\theta) = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$（$0 \leqq \theta < 2\pi$）の最大値と、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

最大値は $2$（$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ のとき）

$a\sin\theta+b\cos\theta$ の合成公式より $R=\sqrt{a^2+b^2}$ とすると、$a=\sqrt{3}$、$b=1$ なので $R=\sqrt{3+1}=2$ である。$\cos\varphi=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin\varphi=\dfrac{1}{2}$ を満たす $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$ を用いると、$f(\theta) = 2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)$ と表せる。$\sin$ の最大値は $1$ であり、$0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲で $\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$ となるのは $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のときである。よって最大値は $2$、そのときの $\theta$ は $\dfrac{\pi}{3}$ である。