べき級数を用いた無限級数の和

次の無限級数の和を求めなさい。$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$

$2$

$|x|<1$ のとき成り立つ公式 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ を用いる。これは $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}$ の両辺を $x$ で微分して $x$ を掛けることで得られる。$x=\dfrac{1}{2}$ を代入すると、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{1/2}{(1-1/2)^2} = \frac{1/2}{1/4} = 2$