判別式と共有点の条件

$2$次関数$y=x^2-2kx+k+6$のグラフが$x$軸と共有点を持たないような定数$k$の値の範囲を求めよ。

$-2<k<3$

グラフが$x$軸と共有点を持たない条件は、方程式$x^2-2kx+k+6=0$の判別式$D$が$D<0$となることである。$D=(-2k)^2-4(k+6)=4k^2-4k-24$。$D<0$より $4k^2-4k-24<0$。両辺を$4$で割ると $k^2-k-6<0$。因数分解すると $(k-3)(k+2)<0$。よって $-2<k<3$。