複素数の積と回転移動

複素数平面上の点 $z=2+i$ を、原点を中心として $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転し、さらに原点からの距離を2倍した点を表す複素数 $w$ を求めよ。

$w=(2-\sqrt{3})+(2\sqrt{3}+1)i$

回転・拡大は $z$ に複素数 $2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=1+\sqrt{3}i$ を掛けることに対応する。$w=(2+i)(1+\sqrt{3}i)=2+2\sqrt{3}i+i+\sqrt{3}i^2=(2-\sqrt{3})+(2\sqrt{3}+1)i$ となる。