実数の非可算性

開区間 $(0,1)$ に属する実数全体の集合は可算集合でない（非可算集合である）ことを，カントールの対角線論法を用いて証明せよ。

$(0,1)$は非可算集合である

背理法で示す。$(0,1)$が可算であると仮定し、$x_1,x_2,\ldots$と列挙できるとする。各桁を対角線上でずらした新しい実数$y$を構成すると、$y$はどの$x_n$とも異なる桁を持つため$y\neq x_n$（すべての$n$）となり、列挙が尽くされていたという仮定に矛盾する。よって$(0,1)$は非可算集合である。