行列の階数（ランク）の計算

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ の階数を求めよ。

$2$

行基本変形により階数を調べる。第2行から第1行の2倍を引くと、第2行は $(0,0,0)$ となる。第3行から第1行を引くと $(0,-1,-1)$ となる。したがって行基本変形後の行列は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ となり、零でない行が2つ残る。第1行と第3行は互いに定数倍の関係にないため、これらは線形独立である。よって行列 $A$ の階数は $2$ である。