連続型確率変数の期待値と確率

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = \begin{cases} 3x^2 & (0 \le x \le 1) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$ で与えられるとき、期待値 $E[X]$ と確率 $P\left(X > \dfrac{1}{2}\right)$ を求めなさい。

$E[X]=\dfrac{3}{4}$、$P\left(X>\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{7}{8}$

まず $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,dx = \big[x^3\big]_0^1=1$ より確率密度関数の条件を満たすことが確認できる。期待値は $E[X]=\int_0^1 x\cdot 3x^2\,dx = \int_0^1 3x^3\,dx = \left[\frac{3}{4}x^4\right]_0^1=\frac{3}{4}$ また $P\left(X>\frac{1}{2}\right)=\int_{1/2}^1 3x^2\,dx = \big[x^3\big]_{1/2}^1 = 1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$