極限の計算(1-cosxのタイプ)

次の極限を求めなさい。$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$

$\dfrac{1}{2}$

半角公式 $1-\cos x = 2\sin^2\dfrac{x}{2}$ を用いると、$\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2$ となる。$x \to 0$ のとき $\dfrac{\sin(x/2)}{x/2} \to 1$ であるから、求める極限は $\dfrac{1}{2}\cdot 1^2 = \dfrac{1}{2}$ である。