常に成り立つ二次不等式の条件

すべての実数$x$に対して、不等式$x^2-2kx+3k+4>0$が成り立つような定数$k$の値の範囲を求めよ。

$-1<k<4$

$y=x^2-2kx+3k+4$は下に凸の放物線である。すべての実数$x$について$y>0$となるための条件は判別式$D<0$となることである。$D=(-2k)^2-4(3k+4)=4k^2-12k-16$。$D<0$より $4k^2-12k-16<0$。両辺を$4$で割ると $k^2-3k-4<0$。因数分解すると $(k-4)(k+1)<0$。よって $-1<k<4$。