正弦定理と余弦定理の複合利用

地点A, Bを結ぶ基準線の長さは $AB=200$ m である。塔Pについて $\angle PAB=45^\circ$、$\angle PBA=45^\circ$ であった。また、地点Aから見える目印Qは $AQ=100$ m の位置にあり、方向APと方向AQのなす角は $\angle PAQ=120^\circ$ であった。塔Pと目印Qの間の距離PQを求めよ。

$100\sqrt{3+\sqrt2}$ m（約210.1m）

三角形PABより $\angle APB=90^\circ$、正弦定理で $AP=200\sin45^\circ=100\sqrt2$ (m)。三角形PAQに余弦定理を用いると $PQ^2=(100\sqrt2)^2+100^2-2\times100\sqrt2\times100\times\left(-\dfrac12\right)=30000+10000\sqrt2$。$PQ=100\sqrt{3+\sqrt2}\approx210.1$ (m)。