1階線形微分方程式の初期値問題

微分方程式 $\dfrac{dy}{dx}-2y=e^{x}$、初期条件 $y(0)=1$ を満たす解 $y(x)$ を求めよ。

$y(x)=2e^{2x}-e^{x}$

積分因子 $\mu(x)=e^{-2x}$ を用いると $\dfrac{d}{dx}(e^{-2x}y)=e^{-x}$。積分すると $e^{-2x}y=-e^{-x}+C$、$y=-e^x+Ce^{2x}$。初期条件より $C=2$。よって $y=2e^{2x}-e^{x}$。