ド・モアブルと実数条件

$z=1+i$ とする。$z^n$ が正の実数となるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

$n=8$

絶対値は $r=\sqrt{2}$、偏角は $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ であるから、$z^n=(\sqrt{2})^n\left(\cos\dfrac{n\pi}{4}+i\sin\dfrac{n\pi}{4}\right)$ である。$\sin\dfrac{n\pi}{4}=0$かつ$\cos\dfrac{n\pi}{4}>0$となる最小の$n$を探す。$n=4$では$\cos\pi=-1<0$で不適。$n=8$では$\cos2\pi=1>0$となり適する。よって最小の正の整数は $n=8$ である。