川を渡る船の流され

川の流れの速さは秒速2mで、静水時に秒速4mで進める船があります。この船を、川岸に垂直な方向へまっすぐ進むように操縦するには、船首を川岸に垂直な方向から川上側へ何度傾ければよいか求めなさい。また、そのときの船の実際の速さを求めなさい。

川岸に垂直な方向から川上側へ$30^\circ$傾ける。実際の速さは秒速$2\sqrt{3}$m

船が川岸に垂直に進むためには、船自身の速度ベクトルの川に沿った方向の成分が、川の流れの速度をちょうど打ち消す必要があります。船首を川岸に垂直な方向から川上側へ角度$\theta$だけ傾けるとすると、船の速度（大きさ4）の川に沿った方向の成分は$4\sin\theta$と表せます。これが流れの速さ2と等しくなればよいので、$4\sin\theta=2$より$\sin\theta=\dfrac{1}{2}$となり、$0^\circ<\theta<90^\circ$の範囲では$\theta=30^\circ$です。このとき、川岸に垂直な方向の成分（実際に船が進む速さ）は$4\cos30^\circ=4\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$です。したがって、船首を川岸に垂直な方向から川上側へ$30^\circ$傾ければよく、そのときの船の実際の速さは秒速$2\sqrt{3}$mです。