定数aを含む区間における二次関数の最小値

二次関数 $y = x^2 - 2ax + 3$ について、$0 \le x \le 2$ における最小値を、定数 $a$ の値によって場合分けして求めよ。

$a<0$のとき最小値$3$、$0\le a\le 2$のとき最小値$3-a^2$、$a>2$のとき最小値$7-4a$

$y = x^2-2ax+3 = (x-a)^2+3-a^2$ と平方完成できるので、このグラフの頂点は$(a,\ 3-a^2)$である。頂点のx座標$a$が区間$0\le x\le 2$のどこにあるかで場合分けする。(1) $a<0$のとき、区間内で$y$は単調増加なので、最小値は$x=0$のときの $y=3$。(2) $0\le a\le 2$のとき、頂点が区間内にあるので、最小値は頂点の値である$3-a^2$。(3) $a>2$のとき、区間内で$y$は単調減少なので、最小値は$x=2$のときの $y=4-4a+3=7-4a$。