極値の条件から係数を決定する

関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ が $x = 1$ で極大値 $5$ をとるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

$a = -7$, $b = 11$

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$。$f'(1)=0$ より $3+2a+b=0$…①。$f(1)=5$ より $1+a+b=5$、$a+b=4$…②。①②を解くと $a=-7,b=11$。$f''(x)=6x-14$、$f''(1)=-8<0$ で極大であることも確認できる。