2変数関数の極値の判定

2変数関数 $f(x,y) = x^2+y^2-4x-6y+5$ の極値を求めなさい。

点 $(x,y)=(2,3)$ で極小値 $-8$ をとる。

偏導関数を求めると $f_x = 2x-4$, $f_y=2y-6$ である。$f_x=0, f_y=0$ を解くと $x=2, y=3$ となり、これが唯一の停留点である。二階偏導関数は $f_{xx}=2$, $f_{yy}=2$, $f_{xy}=0$ であり、判別式は $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=4>0$ かつ $f_{xx}>0$ であるから、点 $(2,3)$ で極小となる。極小値は $f(2,3)=4+9-8-18+5=-8$ である。なお $f(x,y)=(x-2)^2+(y-3)^2-8$ と平方完成できるため、これは大域的最小値でもある。