内積を利用した三角形の面積

$\vec{a}=(4,2)$、$\vec{b}=(1,3)$ を2辺とする三角形の面積を求めよ。

$5$

2辺が $\vec{a}$、$\vec{b}$ である三角形の面積は、$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}$ で求められる。$|\vec{a}|^2=4^2+2^2=20$、$|\vec{b}|^2=1^2+3^2=10$、$\vec{a}\cdot\vec{b}=4\times1+2\times3=10$ であるから、$|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2=20\times10-10^2=200-100=100$ となる。よって $S=\dfrac{1}{2}\sqrt{100}=\dfrac{1}{2}\times10=5$ である。