放物線と直線の面積

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

$\dfrac{9}{2}$

交点の$x$座標は$x^2=x+2$より$(x-2)(x+1)=0$なので$x=-1,2$。公式$\displaystyle\int_a^b(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$を用いると、$\alpha=-1,\beta=2$として$\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,dx=-\dfrac{27}{6}=-\dfrac{9}{2}$。よって求める面積は$\dfrac{9}{2}$となる。