極値をもつ条件

関数 $f(x)=x^3+ax^2+ax+1$ が極値をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ。

$a<0$ または $a>3$

$f'(x)=3x^2+2ax+a$である。$f(x)$が極値をもつのは$f'(x)=0$が異なる2つの実数解をもつときであり、判別式$D>0$と同値である。$\dfrac{D}{4}=a^2-3a=a(a-3)$より、$a(a-3)>0$を解くと$a<0$または$a>3$となる。