1〜9のカードで作る3の倍数の4桁の整数

$1$から$9$までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードから4枚を取り出して4桁の整数を作る。この整数が3の倍数となるような作り方は何通りあるか求めよ。

$1008$通り

$1$〜$9$を3で割った余りで分類すると、余り$0$：$\{3,6,9\}$、余り$1$：$\{1,4,7\}$、余り$2$：$\{2,5,8\}$の各3個ずつになる。4個の数字の和が3の倍数になるのは、各余りから取る個数$(a,b,c)$（$a+b+c=4$）が$(0,2,2),(1,0,3),(1,3,0),(2,1,1)$のときで、それぞれの選び方の総数は$_3C_0\cdot{}_3C_2\cdot{}_3C_2=9$、$_3C_1\cdot{}_3C_0\cdot{}_3C_3=3$、$_3C_1\cdot{}_3C_3\cdot{}_3C_0=3$、$_3C_2\cdot{}_3C_1\cdot{}_3C_1=27$で、合計$9+3+3+27=42$通りの4個の組が取れる。各組について並べ方は$4!=24$通り（$0$は含まれないので先頭が$0$になる心配はない）。よって$42\times24=1008$通り。