円錐の展開図と中心角

母線の長さが12cm、底面の半径が4cmの円錐がある。この円錐の展開図をかいたとき、側面になるおうぎ形の中心角の大きさを求めなさい。

$120°$

円錐の展開図の側面は、半径が母線の長さに等しいおうぎ形になり、その弧の長さは底面の円周に等しい。おうぎ形の中心角を$x$°とすると、$2\times\pi\times12\times\dfrac{x}{360}=8\pi$。両辺を$\pi$でわると、$24\times\dfrac{x}{360}=8$、$\dfrac{x}{15}=8$、$x=120$。中心角は、母線を半径とする円の円周に対する底面の円周の割合を360°にかけたものに等しく、$360\times\dfrac{4}{12}=120$(°)となり一致する。よって、中心角は$120°$である。