部分積分による定積分の計算

次の定積分を計算しなさい。$\displaystyle \int_0^1 x e^x \, dx$

$1$

部分積分を用いる。$u=x$, $dv=e^x dx$ とおくと $du=dx$, $v=e^x$ であるから、$\int x e^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$ よって $\int_0^1 xe^x dx = \Big[(x-1)e^x\Big]_0^1 = (0)\cdot e^1 - (-1)\cdot e^0 = 0-(-1) = 1$