解から係数を求める二次不等式

二次不等式$ax^2+bx+6<0$の解が$-3<x<-2$であるとき、定数$a,b$の値を求めよ。

$a=1, b=5$

不等式の解が有限区間となるためには$a>0$が必要である。$x=-3,-2$が方程式の解であるから $ax^2+bx+6=a(x+3)(x+2)$と表せる。右辺を展開すると $ax^2+5ax+6a$。両辺の係数を比較すると、定数項について $6a=6$ より $a=1$。$x$の係数について $b=5a=5$。よって $a=1, b=5$。