閉区間が閉集合であること

$\mathbb{R}$において，閉区間 $[0,1]$ が閉集合であることを，補集合が開集合であることを示すことにより証明せよ。

$[0,1]$は閉集合である

$[0,1]$の補集合は $(-\infty,0)\cup(1,\infty)$ である。$x<0$のとき$\varepsilon=-x$、$x>1$のとき$\varepsilon=x-1$とおけば、いずれの場合も$B(x,\varepsilon)\subset[0,1]^c$となる。よって$[0,1]^c$は開集合であり、補集合が開集合であるから$[0,1]$は閉集合である。