パラメータを含む行列の階数

実数 $a$ をパラメータとして、行列 $A(a)=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & a \end{bmatrix}$ の階数を $a$ の値に応じて求めよ。

$a\ne7$ のとき $\mathrm{rank}\,A(a)=3$、$a=7$ のとき $\mathrm{rank}\,A(a)=2$

$\det A(a)$ を計算すると $\det A(a)=(2a-12)-(a-4)+1=a-7$。$a\ne7$ のとき正則で階数3。$a=7$ のとき行列式0だが、$2\times2$小行列式 $\det\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}=1\ne0$ が存在するので階数2。