空間における垂直条件からの座標決定

空間内の2点 $A(1,2,-1)$、$B(3,0,1)$ がある。点 $P(x, 1, 2)$ が $\vec{AB}\cdot\vec{AP}=0$ を満たすとき、$x$ の値を求めよ。

$x=-3$

$\vec{AB}=B-A=(3-1,\,0-2,\,1-(-1))=(2,-2,2)$ である。また $\vec{AP}=P-A=(x-1,\,1-2,\,2-(-1))=(x-1,-1,3)$ である。$\vec{AB}\cdot\vec{AP}=2(x-1)+(-2)\times(-1)+2\times3=2x-2+2+6=2x+6$ となる。これが $0$ に等しいので $2x+6=0$ より $x=-3$ である。