広義積分の計算(指数減衰する振動関数)

次の広義積分を計算しなさい。$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x}\sin x \, dx$

$\dfrac{1}{2}$

部分積分を2回繰り返すことで、$\int e^{-x}\sin x \, dx = -\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) + C$ が原始関数として得られる（実際に微分すると $e^{-x}\sin x$ に一致することで検証できる）。$x \to \infty$ のとき $e^{-x}(\sin x+\cos x) \to 0$ であり、$x=0$ では $-\dfrac{1}{2}e^{0}(\sin 0+\cos 0)=-\dfrac{1}{2}$ であるから、$\int_0^{\infty} e^{-x}\sin x\,dx = 0-\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$