重心と中線の長さ

三角形$ABC$において、辺$BC$の中点を$M$とする。中線$AM$の長さが$12$のとき、重心$G$から頂点$A$までの距離$AG$を求めよ。

$AG = 8$

重心$G$は、頂点から対辺の中点に引いた中線を、頂点側から$2:1$に内分する点である。よって$AG:GM = 2:1$である。$AM = AG + GM = 12$なので、$AG = 12 \times \dfrac{2}{3} = 8$となる。