媒介変数表示された曲線の導関数

媒介変数 $t$ を用いて $x=e^t\cos t,\ y=e^t\sin t$ と表される曲線について、$\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ の式で表せ。

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t}$

積の微分法を用いて $\dfrac{dx}{dt}$ と $\dfrac{dy}{dt}$ を求める。$\dfrac{dx}{dt}=e^t\cos t+e^t(-\sin t)=e^t(\cos t-\sin t)$、$\dfrac{dy}{dt}=e^t\sin t+e^t\cos t=e^t(\sin t+\cos t)$ である。媒介変数表示された曲線では $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ が成り立つので、$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{e^t(\sin t+\cos t)}{e^t(\cos t-\sin t)}=\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t}$ となる。