2次正方行列の対角化

行列 $A=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ を対角化しなさい。すなわち、$P^{-1}AP$ が対角行列となるような正則行列 $P$ とその対角行列を求めなさい。

$P=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ とすると $P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

固有方程式は $\det(A-\lambda I) = (4-\lambda)(3-\lambda)-2 = \lambda^2-7\lambda+10=0$ より $\lambda=5,2$ である。$\lambda=5$ のとき $(A-5I)$ に対応する連立方程式は $-x+2y=0$ すなわち $x=2y$ となり、固有ベクトルとして $(2,1)^{\top}$ が取れる。$\lambda=2$ のとき $(A-2I)$ に対応する連立方程式は $x+y=0$ となり、固有ベクトルとして $(1,-1)^{\top}$ が取れる。これらを列に並べた $P=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ は正則(行列式 $-3\neq0$)であり、$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}5&0\\0&2\end{pmatrix}$ が成り立つ。