2変数関数の極値の判定

関数 $f(x,y) = x^2 + y^2 - xy - x - y$ の極値を求めよ。

点 $(1,1)$ で極小値 $-1$ をとる

極値の候補は $f_x = 2x - y - 1 = 0$ かつ $f_y = 2y - x - 1 = 0$ を満たす点である。これを連立して解くと、$y = 2x-1$ を第2式に代入して $2(2x-1)-x-1=0$ より $3x=3$、すなわち $x=1,\ y=1$ となる。次にヘッセ行列の成分は $f_{xx}=2,\ f_{yy}=2,\ f_{xy}=-1$ であるから、判別式は $D = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 = 4-1=3>0$ かつ $f_{xx}=2>0$ となるので、点 $(1,1)$ は極小点である。極小値は $f(1,1) = 1+1-1-1-1=-1$ である。