変数分離形の初期値問題

微分方程式 $\dfrac{dy}{dx}=xy^2$、初期条件 $y(0)=1$ を満たす解 $y(x)$ を求めよ。

$y(x)=\dfrac{2}{2-x^2}$

変数分離すると $\dfrac{dy}{y^2}=x\,dx$。両辺を積分すると $-\dfrac1y=\dfrac{x^2}{2}+C$。初期条件より $C=-1$。よって $y=\dfrac{2}{2-x^2}$。検算すると $y(0)=1$ で条件を満たし、微分すると元の式に一致する。