内積となす角を求める

$\vec{a}=(2,1)$、$\vec{b}=(1,3)$ のとき、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

$\vec{a}\cdot\vec{b}=5$、$\theta = \dfrac{\pi}{4}$（$45°$）

内積は成分を用いて $\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times1+1\times3=5$ と計算できる。また $|\vec{a}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$、$|\vec{b}|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ である。なす角 $\theta$ について $\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\dfrac{5}{\sqrt{5}\times\sqrt{10}}=\dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ となる。$0\leq\theta\leq\pi$ の範囲でこれを満たすのは $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ である。