有理数全体の閉包

$\mathbb{R}$（通常の距離）において，有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ の閉包 $\overline{\mathbb{Q}}$ を求め，その理由を説明せよ。

$\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$

$\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$より$\overline{\mathbb{Q}}\subset\mathbb{R}$である。逆に、任意の$x\in\mathbb{R}$と$\varepsilon>0$に対し、有理数の稠密性により区間$(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$には有理数が存在するので、$\mathbb{R}\subset\overline{\mathbb{Q}}$。両方の包含関係より $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$ である。