4次関数の変曲点

関数 $f(x)=x^4-4x^3$ の変曲点の座標をすべて求めよ。

$(0,\ 0)$ と $(2,\ -16)$

$f'(x)=4x^3-12x^2$, $f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$。$f''(x)=0$ となるのは $x=0,2$ で、いずれも前後で符号が変化する($x=0$ の前後で正から負、$x=2$ の前後で負から正)ため変曲点である。$f(0)=0$, $f(2)=16-32=-16$ より変曲点は $(0,0)$ と $(2,-16)$。