3次関数の最大値の場合分け（パラメータ）

$a$ を正の定数とする。関数 $f(x) = x^3 - 3ax^2$ の区間 $0 \leqq x \leqq 2$ における最大値を、$a$ の値によって場合分けして求めよ。

$0 < a < \dfrac{2}{3}$ のとき最大値 $8 - 12a$（$x=2$）、$a \geqq \dfrac{2}{3}$ のとき最大値 $0$（$x=0$）

$f'(x) = 3x(x-2a)$。$a>0$より$x=0$で極大、$x=2a$で極小。区間内の最大値は端点$x=0$か$x=2$のいずれかで、$f(0)=0$、$f(2)=8-12a$。$8-12a>0 \iff a<\frac23$なので、$0<a<\frac23$で最大値$8-12a$、$a\ge\frac23$で最大値$0$。