放物線同士の面積

2つの放物線 $y=x^2$ と $y=-x^2+4x$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

$\dfrac{8}{3}$

交点の$x$座標は$x^2=-x^2+4x$より$2x(x-2)=0$なので$x=0,2$。面積は$\displaystyle\int_{0}^{2}(-2x^2+4x)\,dx=-2\int_{0}^{2}x(x-2)\,dx$である。公式より$\displaystyle\int_0^2(x-0)(x-2)\,dx=-\dfrac{8}{6}=-\dfrac{4}{3}$なので、面積は$-2\times\left(-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{8}{3}$となる。