S_n=n^2+2nから一般項を求める

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和が$S_n=n^2+2n$で与えられるとき、一般項$a_n$を求めよ。

$a_n=2n+1$

$a_1=S_1=1+2=3$。$n\ge2$のとき$a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-\{(n-1)^2+2(n-1)\}=(n^2+2n)-(n^2-1)=2n+1$。$n=1$を代入すると$2\times1+1=3$となり$a_1$とも一致するので、$a_n=2n+1$は全ての自然数$n$で成り立つ。