放物線と直線に囲まれた領域上の二重積分

領域 $D$ を $0 \le x \le 1,\ x^2 \le y \le x$ とするとき、二重積分 $\displaystyle\iint_D (x+y)\,dA$ の値を求めよ。

$\dfrac{3}{20}$

累次積分により計算する。まず $y$ について積分すると、$\displaystyle\int_{x^2}^{x}(x+y)\,dy = \left[xy+\dfrac{y^2}{2}\right]_{x^2}^{x} = \left(x^2+\dfrac{x^2}{2}\right) - \left(x^3+\dfrac{x^4}{2}\right) = \dfrac{3}{2}x^2 - x^3 - \dfrac{1}{2}x^4$ となる。次にこれを $x$ について $0$ から $1$ まで積分すると、$\displaystyle\int_0^1 \left(\dfrac{3}{2}x^2 - x^3 - \dfrac{1}{2}x^4\right)dx = \left[\dfrac{1}{2}x^3 - \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{1}{10}x^5\right]_0^1 = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{10} = \dfrac{10-5-2}{20} = \dfrac{3}{20}$ である。