外部の点からの接線

点 $(2,-6)$ から曲線 $y=x^3-3x$ に引いた接線の方程式をすべて求めよ。

$y=-3x$、$y=24x-54$

接点を$(t,\ t^3-3t)$とすると、接線の方程式は$y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t=(3t^2-3)x-2t^3$となる。これが点$(2,-6)$を通るので、$-6=6t^2-6-2t^3$。整理すると$2t^3-6t^2=0$より$2t^2(t-3)=0$、よって$t=0,3$。$t=0$のとき接線は$y=-3x$。$t=3$のとき接線は$y=24x-54$。したがって求める接線は$y=-3x$と$y=24x-54$の2本。