表面積が最小になる缶の設計

容積が一定で$V=54\pi$cm³の円柱形の缶を作ります。底面の半径を$r$cm、高さを$h$cmとするとき、表面積$S$を最小にする$r$の値を求めなさい。

$r=3$（cm）

円柱の体積の関係式$V=\pi r^2h=54\pi$より、$h=\dfrac{54}{r^2}$です。表面積は$S=2\pi r^2+2\pi rh$なので、これに$h=\dfrac{54}{r^2}$を代入すると$S=2\pi r^2+2\pi r\cdot\dfrac{54}{r^2}=2\pi r^2+\dfrac{108\pi}{r}$となります。$S$を$r$で微分すると$S'=4\pi r-\dfrac{108\pi}{r^2}=\dfrac{4\pi r^3-108\pi}{r^2}=\dfrac{4\pi(r^3-27)}{r^2}$です。$S'=0$となるのは$r^3=27$より$r=3$のときで、$r=3$の前後で$S'$は負から正に変わるため、$r=3$で$S$は極小かつ最小になります。したがって表面積を最小にする$r$の値は$3$cmです。