遺跡の年代測定と半減期

ある放射性物質は5730年で質量がもとの半分になることが知られています。遺跡から発見された木片に含まれるこの放射性物質の質量が、もとの質量の20%になっていることがわかりました。この木片ができたのはおよそ何年前か求めなさい。ただし、$\log_{10}2=0.301$、$\log_{10}5=0.699$とする。

およそ$13300$年前

$n$年後に質量がもとの$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{n}{5730}}$倍になるので、これが0.2になる条件は$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{n}{5730}}=0.2=\dfrac{1}{5}$です。両辺の常用対数をとると$\dfrac{n}{5730}\log_{10}\dfrac{1}{2}=\log_{10}\dfrac{1}{5}$、すなわち$-\dfrac{n}{5730}\log_{10}2=-\log_{10}5$となります。よって$n=5730\times\dfrac{\log_{10}5}{\log_{10}2}=5730\times\dfrac{0.699}{0.301}=5730\times2.322\cdots=13307\cdots$です。したがって、およそ$13300$年前にできたと考えられます。