ノートの値下げによる利益の最大化

あるノートは1冊300円で、1日に120冊売れています。このノートを1円値下げするごとに、1日の販売数が2冊ずつ増えることがわかっています。値下げ額を$x$円とするとき、1日の売り上げによる利益が最大になる値下げ額を求めなさい。ただし、仕入れ値は考えず、売上金額をそのまま利益とする。

$x=120$（円）のとき最大で、そのときの売り上げは$64800$円

値下げ額を$x$円とすると、1冊あたりの価格は$(300-x)$円、1日の販売数は$(120+2x)$冊と表せます。1日の売り上げを$y$円とすると$y=(300-x)(120+2x)$です。展開すると$y=36000+600x-120x-2x^2=-2x^2+480x+36000$となります。平方完成すると$y=-2(x^2-240x)+36000=-2\{(x-120)^2-120^2\}+36000=-2(x-120)^2+28800+36000=-2(x-120)^2+64800$となります。価格が0円より大きい条件$0\le x<300$の範囲において、$x=120$のとき$y$は最大値$64800$をとります。したがって、値下げ額が$120$円のとき売り上げは最大となり、そのときの売り上げは$64800$円です。