内積を用いたベクトルの大きさの最小値

$|\vec{a}|=3,\ |\vec{b}|=4,\ \vec{a}\cdot\vec{b}=6$ のとき、$|\vec{a}+t\vec{b}|$（$t$ は実数）の最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。

$t=-\dfrac{3}{8}$ のとき最小値 $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

$|\vec{a}+t\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2t\,\vec{a}\cdot\vec{b}+t^2|\vec{b}|^2=9+12t+16t^2$。これを $t$ の2次関数とみて平方完成すると $16\left(t+\dfrac{3}{8}\right)^2+\dfrac{27}{4}$ となり、$t=-\dfrac{3}{8}$ で最小値 $\dfrac{27}{4}$ をとる。よって $|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{\dfrac{27}{4}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$。