対称行列の固有値と対角化可能性

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値をすべて求め、$A$ が対角化可能であるかどうかを判定せよ。

固有値は $2$（重複度2）と $4$（重複度1）であり、$A$ は対角化可能である。

行列 $A$ はブロック対角の形をしており、$(1,1)$ 成分の $2$ は単独で固有値の1つとなる。残りの $2\times2$ ブロック $\begin{pmatrix}3 & 1\\ 1& 3\end{pmatrix}$ の固有値は、特性方程式 $(3-\lambda)^2-1=0$ より $3-\lambda=\pm1$、すなわち $\lambda=2, 4$ である。したがって $A$ 全体の固有値は $2, 2, 4$（$2$ は重複度2）となる。$A$ は実対称行列であり、実対称行列は常に直交対角化可能であることが知られている。実際、固有値 $2$ に対する固有空間は $(A-2I)\bm{v}=0$、すなわち $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}\bm{v}=0$ を満たす $\bm{v}$ の集合であり、これは2次元の解空間をもつ（階数1なので核の次元は $3-1=2$）。固有値の重複度と固有空間の次元が一致しているため、$A$ は対角化可能である。